簇容量泛函与高斯自由场的同构定理

我们研究连续瞬态度量图$\tilde{\mathcal G}$上高斯自由场的水平集，并考察其水平集簇的容量。我们证明，在对基图$\mathcal{G}$无任何进一步假设下，$\tilde{\mathcal G}$上符号簇的容量几乎必然有限。这给出判定$\tilde{\mathcal G}$上自由场符号簇是否有界的一种新颖且有效的准则。它也阐明了为何在质量为零的情形下$\tilde{\mathcal G}$上水平集渗流临界参数在大多数情况下消失，并确立了该相变在广泛情形（包括所有顶点传递图）下的连续性。当$\tilde{\mathcal G}$上符号簇不渗流时，我们进一步借助同构理论确定任意高度处紧簇容量的精确分布。具体而言，我们从Sznitman对Lupu近期将自由场与随机交织相联系的同构定理之改进的推广导出该分布——此推广在论证过程中获得，且仅需在$\tilde{\mathcal G}$上符号簇有界的假设下成立。最后，我们表明以此方式得到的簇容量泛函之分布实际上刻画了同构定理，即二者等价。