从环路簇与随机交织到自由场

Le Jan 证明了与网络上非常返对称 Markov 跳跃过程相关联的、参数为二分之一的 Markov 环路的 Poisson 系综（“环路汤”）的占据场是该网络上 Gauss 自由场的平方的一半。我们构造了这些环路与自由场之间的耦合，使得一个附加约束成立：自由场的符号在每个环路簇上是恒定的。作为耦合的推论，我们推导出参数为二分之一的环路簇在周期格上不发生渗流。我们还在 $\mathbb{Z}^{d}$ ($d\geq 3$) 上构造了 Sznitman 引入的随机交织与格上 Gauss 自由场之间的耦合，使得被交织访问的顶点集合包含在自由场的一个水平集中。我们推导出自由场水平集渗流的临界水平与随机交织空闲集渗流的临界参数之间的不等式。在环路和随机交织两种情况下，耦合均通过将离散图替换为度量图来构造。Le Jan 和 Sznitman 关于 Gauss 自由场与轨迹占据场的同构定理可以推广到度量图环境，在该环境中连续场的介值原理成立。