环渗流中的相变

我们关注无限图上马尔可夫环的泊松系综所形成的团簇。该模型由 [LeJ12] 和 [LL12] 引入并研究。这是一个具有长程相关性的模型，包含两个参数 $\alpha$ 和 $\kappa$。非负参数 $\alpha$ 衡量环的数量，而 $\kappa$ 在顶点处起到杀灭作用，从而抑制 ($\kappa>0$) 或促进 ($\kappa<0$) 大环的出现。[LL12] 表明，对于任意固定的 $\kappa$ 和足够大的 $\alpha$，在 $\mathbb{Z}^d$ 上的环渗流中存在无限团簇。在本文中，我们展示了在整数格 $\mathbb{Z}^d$ ($d\geq 3$) 上，当 $\kappa=0$ 时存在非平凡相变。更确切地说，我们证明了当 $\kappa=0$ 且 $\alpha$ 足够小时，不存在环渗流。有趣的是，我们在 $\alpha$ 的整个次临界域观察到了类临界行为，即对于 $\kappa=0$ 和 $\alpha$ 的任何次临界值，单臂事件的概率至多以多项式速度衰减。对于 $d\geq 5$，我们证明了期望团簇大小的有限性存在一个非平凡阈值。对于低于该阈值的 $\alpha$，我们计算了单臂事件概率、两点函数以及团簇大小尾分布的衰减（相差一个常数因子）。这些速率与从单个大环获得的速率相当，且仅依赖于维度。对于 $d=3$ 或 $4$，我们给出了单臂事件概率衰减的更好下界，这表明小环对于长程连接的重要性。此外，我们证明了三维空间中的单臂指数依赖于强度 $\alpha$。