正则图上高斯自由场的水平集渗流 I:正则树

我们研究固定$d\geq 3$的无限$d$-正则树上高斯自由场的水平集渗流。记$h_\star$为临界值,我们得到如下结果:对于$h>h_\star$,我们导出高于水平$h$的水平集的给定连通分支大小的条件指数矩估计;对于$h<h_\star$,我们证明以正概率,在距离$k$上与给定顶点高于水平$h$相连的顶点数随$k$指数增长。此外,我们证明渗流概率是水平$h$的连续函数,至少在远离临界值$h_\star$处如此。在此过程中,我们还获得了临界值$h_\star$的谱刻画中所涉特征函数的匹配上下界,并将其中所用鞅的非消失极限概率与渗流概率相联系。此处导出的若干结果应用于伴随论文[AC2]中。