有限图上临界水平集 percolation 与谱间隙

我们研究由零均值高斯自由场在给定高度(水平)参数 $h \in \mathbb{R}$ 上的水平集诱导出的有限图上的键 percolation。我们在度均匀有界的所有扩散族 $\mathcal{G}_n = (V_n, E_n)$ 上，描述了该模型的近临界与非临界相。特别是，我们表明在水平参数 $h_n$ 位于相应临界窗口内时，最大开放簇的体积为 $|V_n|^{\frac23}$，其中我们确定了该临界窗口为 $|h_n| = O(|V_n|^{-\frac13})$。在该窗口之外，体积开始偏离 $\Theta(|V_n|^{\frac23})$，并在超临界相 $h_n = h < 0$（巨型组件）中呈线性阶，或在亚临界相 $h_n = h > 0$ 中呈对数阶。我们从针对任意水平 $h$ 上最大开放簇体积的尾概率有效估计中推导了这些结果。这些估计仅通过图的大小、度的上、下界以及谱间隙来依赖于 $\mathcal{G}$。据我们所知，这是第一个在如此一般的设置下推导均值场临界行为的实例。这些估计的普遍性预clude了对 $\mathcal{G}$ 通过规则无限树的局部近似——该方法是该领域的标准方法。相反，我们的方法依赖于利用谱间隙与零均值高斯自由场水平集之间的联系，这通过我们称为零均值容量的函数来实现。