正则图上高斯自由场的水平集渗流 II:有限扩张图

我们考虑某类固定$d\geq 3$的有限$d$-正则图上的零均值高斯自由场。该类包含大围长的$d$-正则扩张图与随机$d$-正则图的典型实现。我们证明零均值高斯自由场高于水平$h$的水平集在水平$h_\star$处呈现相变,该值与无限$d$-正则树上高斯自由场水平集渗流的临界值一致。更精确地,我们证明:当有限图规模趋于无穷时,以趋于1的概率,只要$h>h_\star$,高于水平$h$的水平集不包含任何大于对数大小的连通分支;反之,只要$h<h_\star$,顶点的线性比例包含在高于水平$h$的水平集的连通分支中,这些分支大小至少为图总大小的某个小分数幂。在超临界相$h<h_\star$下,当图规模趋于无穷时,是否观察到高于水平$h$的水平集出现(可能唯一的)巨型连通分支仍属开放问题。本文的证明使用了伴随论文[AC1]中的结果。