度量图上高斯自由场与环汤的初始无限簇与体积增长

在本文中，我们证明了对于临界高斯自由场（GFF）水平集和临界环汤在度量图 $\widetilde{\mathbb{Z}}^d$ 上，当 $d\ge 3$ 且除临界维数 $d=6$ 外，四种初始无限簇（IIC）的存在性与等价性。这些 IIC 被定义为四种极限条件概率，涉及不同的条件化方式和各种取极限的方法：(1) 在临界状态下以 $\{0 \leftrightarrow \partial B(N)\}$ 为条件（其中 $0$ 为 $\mathbb{Z}^d$ 的原点，$\partial B(N)$ 是以 $0$ 为中心、边长为 $2N$ 的方体 $B(N)$ 的边界），并令 $N\to \infty$；(2) 在超临界状态下以 $\{0\leftrightarrow \infty\}$ 为条件，并令参数趋于临界阈值；(3) 在临界状态下以 $\{0 \leftrightarrow x\}$ 为条件（其中 $x\in \mathbb{Z}^d$ 为格点），并令 $x\to \infty$；(4) 以包含 $0$ 的临界簇的容量超过 $T$ 的事件为条件，并令 $T\to \infty$。我们的证明采用了 Basu 和 Sapozhinikov (2017) 为在低维（即 $3\le d\le 5$）的伯努利渗流中构建 IIC（如 (1) 和 (2)）而提出的稳健框架，其中关于拟乘性的关键假设在我们的配套论文中得到了证明。我们进一步证明，在以 $\{0 \leftrightarrow \partial B(N)\}$ 为条件的情况下，$B(M)$ 内包含 $0$ 的临界簇的体积通常为 $M^{(\frac{d}{2}+1)\land 4}$ 量级，只要 $N\gg M$。这一现象表明 GFF 或环汤的临界簇具有自相似性，支持了 Werner (2016) 关于此类簇存在标度极限的猜想。此外，$M^{(\frac{d}{2}+1)\land 4}$ 的指数与 Werner (2016) 提出的标度极限的猜想分形维数一致。