与 Ising 模型耦合的随机三角化中自旋簇的几何性质

我们研究了按顶点上 Ising 构型能量成比例概率抽样的随机三角化中典型自旋簇的几何性质，包括有限与无限体积设定。已知该模型在显式临界温度处经历组合相变，其配分函数具有不同于均匀映射的渐近行为。本工作的目的是给出该相变的几何证据。在称为无限 Ising 平面三角化的无限体积设定中，我们展示了无穷自旋簇存在性的相变：在临界与超临界温度下，根自旋簇几乎必然有限，而在亚临界温度下以正概率无穷。值得注意的是，我们获得了该概率的显式参数表达式，从而证明渗流临界指数 $\beta=1/4$。我们还推导了有限与无限体积设定下根自旋簇周长与体积的尾分布临界指数。最后，我们建立了视作 looptree 的根自旋簇界面的缩放极限。特别是在整个超临界温度区间，我们证明了临界指数与 looptree 极限均与临界 Bernoulli 点渗流相同。我们的证明混合了组合与概率论证。出发点是垫圈分解，它充分利用了模型的时空马尔可夫性质。该分解使我们能在有限体积设定中将根自旋簇刻画为 Boltzmann 平面映射。随后我们结合通过解析组合学获得的精确组合结果以及 Boltzmann 映射的普适特征来确立结论。