UIPT 上点渗流模型的渗流概率与临界指数

我们推导了均匀无限平面三角化（UIPT）上 Bernoulli 点渗流模型的三个临界指数。首先我们显式计算了根簇为无穷簇的概率。由此表明 UIPT 上点渗流的偏离临界指数为 $\beta = 1/2$。随后我们建立了根簇中顶点数的生成函数的积分公式。利用该公式，我们证明在临界情形下，根簇至少含有 $n$ 个顶点的概率以 $n^{-1/7}$ 的速度衰减。最后，我们还推导了根簇周长的分布律，并用以证明在临界情形下，根簇周长等于 $n$ 的概率以 $n^{-4/3}$ 的速度衰减。在这三个指数中，仅最后一个此前已知。我们的主要工具是所谓的渗流簇垫圈分解、随机 Boltzmann 映射的普适性质，以及解析组合学。