Hamming 图渗流临界点的展开

Hamming 图 $H(d,n)$ 是 $d$ 个 $n$ 顶点完全图的笛卡尔积。设 $m=d(n-1)$ 为度数，$V = n^d$ 为 $H(d,n)$ 的顶点数。设 $p_c^{(d)}$ 为 $H(d,n)$ 上键渗流的临界点。我们证明，对于固定的 $d \in \mathbb N$ 且 $n \to \infty$，有 \begin{equation*} p_c^{(d)}= \dfrac{1}{m} + \dfrac{2d^2-1}{2(d-1)^2}\dfrac{1}{m^2} + O(m^{-3}) + O(m^{-1}V^{-1/3}), \end{equation*} 这将 \cite{BorChaHofSlaSpe05b} 中发现的渐近行为扩展了一阶。项 $O(m^{-1}V^{-1/3})$ 是临界窗口的宽度。对于 $d=4,5,6$，有 $m^{-3} = O(m^{-1}V^{-1/3})$，因此上述公式代表了 $p_c^{(d)}$ 的完整渐近展开。在 \cite{FedHofHolHul16a} 中，我们表明该公式是研究 $d=2,3,4$ 时 $H(d,n)$ 上临界键渗流的关键要素。证明过程对上界使用了 lace 展开，对下界使用了与分支随机游动的新型比较。下界的证明还给出了次临界 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图磁化率的 refined 渐近行为。