二维临界概率下入侵渗流的接受剖面

入侵渗流是一种遵循贪婪算法的随机增长模型。在给 $\mathbb{Z}^d$ 的所有边赋予独立同分布的均匀随机变量（权重）后，增长从原点开始。每一步，我们将边界上权重最小的边并入当前簇。1985年，Chayes-Chayes-Newman 研究了入侵的“接受剖面”：对于给定的 $p \in [0,1]$，它是直到时间 $n$ 权重落在 $[p,p+\text{d}p]$ 内被入侵边的期望数量与权重在同一区间内被观测边（簇内或其边界上的边）的期望数量之比。他们证明了在所有维度中，接受剖面 $a_n(p)$ 在 $p<p_c$ 时收敛到 1，在 $p>p_c$ 时收敛到 0。在本文中，我们考虑二维临界点 $p=p_c$ 处的 $a_n(p)$，并证明当 $n \to \infty$ 时它远离 0 和 1。