极值理论、Poisson-Dirichlet分布与随机网络上的首达渗流

我们研究了配置模型上的首达渗流，该模型具有指数为$\tau\in [1,2)$的幂律度分布。为此，我们为边赋予指数权重。我们推导了网络中典型顶点之间路径的最小权重以及最小权重路径上的边数的分布极限，这些极限可以用Poisson-Dirichlet分布来计算。我们通过构造一个描述网络密集连接核心中首达渗流问题的无限极限对象，显式地描述了这些极限。我们考虑了两种独立的情形，即原始配置模型（其中每条边，无论其多重性如何，都接收一个独立的指数权重）以及擦除配置模型（其中任何一对直接邻居之间都有一个独立的指数权重）。虽然结果在性质上相似，但令人惊讶的是，极限随机变量却截然不同。我们的结果表明，网络的流传输特性与平均场设定或局部树状设定（当$\tau>2$时出现，且典型顶点之间的跳数按$\log{n}$缩放）显著不同。在我们的设定中，跳数是紧的，并具有显式的极限分布，这表明信息可以在网络中的不同顶点之间以非常快的速度传输。这种效率也有其缺点，即此类网络对定向攻击非常脆弱。这些结果延续了作者的一个总体计划，旨在获得关于随机无序如何改变各种随机网络模型固有几何结构的完整图景。