{$1$}-独立随机图中的长路径与连通性

给定图 $G$,若由 $G$ 中图距离至少为 $1$ 的边集所确定的事件相互独立,则称边集子集上的概率测度 $\mu$ 为 $1$-独立的。称这样的概率测度为 $G$ 上的 $1$-ipm,并用 $\mathbf{G}_{\mu}$ 表示 $G$ 的关联随机生成子图。令 $\mathcal{M}_{1,\geqslant p}(G)$(相应地 $\mathcal{M}_{1,\leqslant p}(G)$)表示 $G$ 上使得每条边以至少 $p$(相应地至多 $p$)的概率被包含在 $\mathbf{G}_{\mu}$ 中的 $1$-ipms 的集合。令 $\mathbb{Z}^2$ 表示正方形整数格。Balister 和 Bollob\'as 提出了确定临界值 $p_{\star}=p_{1,c}(\mathbb{Z}^2)$ 的问题,使得对所有 $p>p_{\star}$ 以及所有 $\mu \in \mathcal{M}_{1,\geqslant p}(\mathbb{Z}^2)$,$\left(\mathbf{\mathbb{Z}^2}\right)_{\mu}$ 几乎必然包含一个无限连通分支。这可被视为在寻求著名的 Harris--Kesten 定理的 $1$-独立类比。本文中我们同时研究此问题以及更一般意义上的 $1$-ipms 的连通性问题。我们给出了 $p_{\star}$ 的两个下界,显著改进了先前的界。此外,受 Russo--Seymour--Welsh 引理的启发,我们定义了长路径的 $1$-独立临界概率,并确定了其在线格与梯格上的值。最后,对有限图 $G$ 我们研究 $f_{1,G}(p)$(相应地 $F_{1,G}(p)$),即对所有 $\mu\in \mathcal{M}_{1,\geqslant p}(G)$(相应地所有 $\mu \in \mathcal{M}_{1,\leqslant p}(G)$)的 $\mathbf{G}_{\mu}$ 连通的概率的下确界(相应地上确界)。当 $G$ 为路径、完全图以及长度至多为 $5$ 的圈时,我们精确确定了 $f_{1,G}(p)$ 和 $F_{1,G}(p)$。我们的工作引出了许多新问题,这些将在本文最后一节中讨论。