幂律分布小世界图中的键渗流

\emph{全键渗流}（full-bond percolation）参数为 $p$，其过程为：给定图，对每条边独立地以概率 $1-p$ 删除该边。键渗流源于数学物理中的问题，并在并行计算与网络科学中用于理解分布式系统对随机链路失效的鲁棒性，以及信息通过不可靠链路在网络中的传播。全键渗流也等价于 \emph{Reed-Frost 过程}——一种 \emph{SIR} 传染病传播的网络的版本，其中图表示人群间的接触，$p$ 对应于感染者与易感者之间接触导致感染传播的概率。我们考虑参数为 $\alpha$ 的 \emph{一维幂律小世界图}，其由一圈环加上额外的长程随机边构成：环上距离为 $L$ 的节点对 $(u,v)$ 以正比于 $1/L^\alpha$ 的概率被长程边 $(u,v)$ 连接。我们的分析根据 $\alpha$ 的值确定了小世界图渗流子图 $G_p$ 的三个相。1) 若 $\alpha < 1$，存在 $p<1$ 使得以高概率有 $\Omega(n)$ 个节点可在 $G_p$ 中经 $O(\log n)$ 跳互相到达；2) 若 $1 < \alpha < 2$，存在 $p<1$ 使得以高概率有 $\Omega(n)$ 个节点可在 $G_p$ 中经 $\log^{O(1)}(n)$ 跳互相到达；3) 若 $\alpha > 2$，对任意 $p<1$，以高概率 $G_p$ 的所有连通分量大小均为 $O(\log n)$。本文所研究的有限图上的全键渗流（对应传染病传播的网络 SIR 模型）此前未被分析过。