大样本精度矩阵对角元素的波动

对于给定的具有独立同分布中心化元素的$p\times n$数据矩阵$\textbf{X}_n$和总体协方差矩阵$\bf{\Sigma}$，相应的样本精度矩阵$\hat{\bf\Sigma}^{-1}$定义为样本协方差矩阵$\hat{\bf\Sigma} = (1/n) \bf{\Sigma}^{1/2} \textbf{X}_n\textbf{X}_n^\top \bf{\Sigma}^{1/2}$的逆。我们确定了在$p_n=p< n$、$n\to\infty$时$p/n \to y \in [0,1)$且$\bf{\Sigma}$为对角矩阵的情形下，矩阵$\hat{\bf\Sigma}^{-1}$的对角元素向量之联合分布。值得注意的是，我们的结果同时涵盖了维度相对于样本量可忽略的情形以及维度与样本量同阶的情形。我们的方法基于数据矩阵的QR分解，由此建立了与随机二次型的联系，并允许应用鞅差序列的中心极限定理。此外，我们讨论了与样本协方差矩阵的线性谱统计的一个有趣联系。更确切地说，样本精度矩阵的对数对角元素可解释为$\hat{\bf\Sigma}$的线性谱统计与其一个子矩阵的线性谱统计这两个高度相关的线性谱统计之差。该谱统计之差的波动尺度远小于单个统计的波动尺度。