基于数据损失下的协方差矩阵估计

本文中，我们考虑在观测矩阵 $Y$ 的分布属于一大类椭圆对称分布时，估计多元线性回归模型 $Y=X\,\beta + \mathcal{E}\,$ 的 $p\times p$ 尺度矩阵 $\Sigma$ 的问题。推导该模型的典范形式 $(Z^T U^T)^T$ 后，任意 $\Sigma$ 的估计量 $\hat{ \Sigma}$ 通过基于数据的损失 tr$(S^{+}\Sigma\, (\Sigma^{-1}\hat{\Sigma} - I_p)^2 )\,$ 评估，其中 $S=U^T U$ 为样本协方差矩阵，$S^{+}$ 为其 Moore-Penrose 逆。我们提供相对于通常估计量 $a\,S$（$a$ 为正常数）的替代估计量，其具有更小的关联风险。相较于通常二次损失 tr$(\Sigma^{-1}\hat{\Sigma} - I_p)^2$，我们得到了更大的估计量类以及此类改进成立的更广椭圆分布类。数值研究说明了该理论。