高维广义信息加噪声型矩阵的极限谱分布

设 $X_{n}$ 为 $n\times N$ 随机复矩阵，$R_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为维度 $n\times N$ 和 $n\times n$ 的非随机复矩阵。我们假设 $X_{n}$ 的条目独立同分布，$T_{n}$ 为非负定 Hermitian 矩阵，且 $T_{n}R_{n}R_{n}^{*}= R_{n}R_{n}^{*}T_{n}$。广义信息加噪声型矩阵定义为 $C_{n}=\frac{1}{N}T_{n}^{\frac{1}{2}} \left( R_{n} +X_{n}\right) \left(R_{n}+X_{n}\right)^{*}T_{n}^{\frac{1}{2}}$。本文建立了高维广义信息加噪声型矩阵 $C_{n}$ 的极限谱分布。具体而言，我们证明了当 $n$ 和 $N$ 按比例趋于无穷时，$C_{n}$ 特征值的经验分布弱收敛于一个非随机概率分布，该分布通过其 Stieltjes 变换的方程组刻画。