各向异性样本协方差矩阵特征向量的线性谱统计

考虑形式为 $Q:=\Sigma^{1/2} X X^\top \Sigma^{1/2}$ 的样本协方差矩阵，其中 $X=(x_{ij})$ 是一个 $n\times N$ 随机矩阵，其元素为均值零、方差 $N^{-1}$ 的独立随机变量，$\Sigma$ 是一个确定性的正定协方差矩阵。我们通过所谓的特向量经验谱分布 $F_{\mathbf v}$ 研究 $Q$ 的特征向量的极限行为，这是一种以权重 $|\mathbf v^\top \xi_k|^2$ 给出的经验谱分布的替代形式，其中 $\mathbf v$ 是一个确定性单位向量，$\xi_k$ 是 $Q$ 的特征向量。我们证明了 $F_{\mathbf v}$ 的线性谱统计的一个泛函中心极限定理，其指标为具有 H"older 连续导数的函数。我们表明，线性谱统计在阶为 1 的全局尺度以及远小于 1 但远大于典型特征值间距 $N^{-1}$ 的局部尺度上均收敛到某些高斯过程。此外，我们给出了高斯过程协方差函数的显式表达式，其中 $\Sigma$ 和 $\mathbf v$ 的确切依赖关系在文献中首次被确定。