经验自协方差矩阵的谱

我们计算了二阶平稳随机过程的样本自协方差矩阵的谱。我们考察了矩阵维数 $N$ 与用于定义经验平均的样本量 $M$ 均趋于无穷，且其比值 $\alpha=N/M$ 保持固定的极限情形。我们发现了一个显著的标度关系，该关系将具有动态关联过程的样本自协方差矩阵的谱密度 $\rho(\lambda)$ 表达为一系列不相关随机变量的谱密度 $\rho^{(0)}_\alpha(\lambda)$ 的适当重缩放副本的连续叠加。重缩放因子由随机过程自协方差函数的傅里叶变换 $\hat C(q)$ 给出。我们还获得了标度函数 $\rho^{(0)}_\alpha(\lambda)$ 的闭式近似。该近似依赖于形状参数 $\alpha$，但在其他方面是普适的：只要底层随机变量具有有限方差，它就独立于这些变量的具体细节。我们的结果得到了使用自回归过程进行的数值模拟的证实。