重尾样本协方差矩阵最大特征值的极限理论

我们研究了基于大型 $p\times n$ 矩阵 $X$ 的 $p\times p$ 样本协方差矩阵 $XX^\T$ 的 $k$ 个最大特征值的联合极限分布。$X$ 的行由线性过程的独立副本给出，即 $X_{it}=\sum_j c_j Z_{i,t-j}$，其中噪声 $(Z_{it})$ 具有正则变化性，尾指数 $\alpha\in(0,4)$。我们证明，当 $n\to\infty$ 且 $p\to\infty$ 以适当速率进行时，基于 $XX^\T$ 特征值的点过程依分布收敛到一个泊松点过程，其强度测度依赖于 $\alpha$ 和 $\sum c_j^2$。该结果被推广到随机系数模型，其中线性过程 $(X_{it})$ 的系数由 $c_j(\theta_i)$ 给出（对于某个遍历序列 $(\theta_i)$），因此在 $X$ 的每一行中变化。作为我们技术的副产品，我们获得了在 $p/n$ 趋于零或无穷大且 $\alpha\in(0,2)$ 的情况下，具有独立同分布元素的矩阵相应结果的证明。