非厄米随机带状矩阵的异常值与有界秩扰动

本文研究包含广泛独立条目随机带状矩阵的一类一般非厄米方阵随机矩阵 $X$。尽管这些非均匀模型的极限密度存在性在很大程度上未知，我们证明在非常一般的条件下，当受到有限秩确定性矩阵扰动时，可以确定谱异常值。更精确地说，我们证明当 $\mathbb{E}[X]=0,\mathbb{E}[XX^*]=\mathbb{E}[X^*X]=\mathbf{1}$ 且 $\mathbb{E}[X^2]=\rho\mathbf{1}$，并在 $X$ 的稀疏性和条目矩满足温和条件时，以高概率 $X$ 的所有特征值都被限制在参数为 $\rho$ 的椭圆律支撑集的邻域内。此外，有限秩扰动性质成立：当 $X$ 被另一个有界秩的确定性矩阵 $C_N$ 扰动时，该扰动产生离群特征值，其极限仅取决于 $C_N$ 的离群特征值和 $\rho$。这将 Tao 关于 i.i.d. 随机矩阵以及 O'rourke 和 Renfrew 关于椭圆矩阵的结果推广到一族高度稀疏和非均匀的随机矩阵，包括正则图上度数至少为 $(\log N)^3$ 的所有高斯带状矩阵。我们还推导了定量收敛速率。我们还考虑至少两个独立椭圆随机矩阵乘积的一类有限秩形变，并证明其行为与乘积 i.i.d. 矩阵相同。