非厄米稀疏随机矩阵的有限秩加性变形的极端特征值与特征向量

考虑一个 $n\times n$ 稀疏非厄米随机矩阵 $X_n$，其定义为具有独立居中相同分布条目随机矩阵与成功概率为 $K_n/n$（其中 $K_n\le n$，且可能 $K_n\ll n$）的稀疏伯努利矩阵的哈达德积。设 $E_n$ 为秩为有限的确定性 $n\times n$ 矩阵。我们证明，$Y_n= X_n +E_n$ 的异常特征值渐近匹配 $E_n$ 的异常特征值。在秩一变形的特殊情况下，假设稀疏参数满足 $K_n \gg \log^9(n)$，且随机矩阵的条目为亚高斯分布，我们描述了与秩一变形相关的右特征向量的投影的极限行为。特别是，我们证明该投影的行为与厄米情况相同。为此，我们依赖 Brailovskaya 和 van Handel (2024) 最近的普适性结果，这些结果将 $X_n$ 变形的奇异值谱与这些矩阵的高斯类比矩阵联系起来。我们的分析建立在 Bordenave 等人 (2022) 最近引入的框架上，主要是展示了随机矩阵的逆特征多项式与在单位圆盘上具有显式依赖于有限秩变形的随机解析函数的渐近等价性。