次高斯二次型的稀疏Hanson-Wright不等式

在本文中，我们给出了次高斯随机变量中稀疏化二次型的Hanson-Wright不等式的证明。这通过两种方式提供了稀疏次高斯随机向量的有用集中不等式。令 $X = (X_1, \ldots, X_m) \in \mathbb{R}^m$ 为具有独立次高斯分量的随机向量，$\xi =(\xi_1, \ldots, \xi_m) \in \{0, 1\}^m$ 为独立的伯努利随机变量。我们证明了 $(X \circ \xi)^T A (X \circ \xi)$ 的稀疏二次型的大偏差界，其中 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是一个 $m \times m$ 矩阵，随机向量 $X \circ \xi$ 表示各向同性次高斯随机向量 $X \in \mathbb{R}^m$ 与随机向量 $\xi \in \{0, 1\}^m$ 的哈达玛积，使得 $(X \circ \xi)_{i} = X_{i} \xi_i$，其中 $\xi_1, \ldots,\xi_m$ 是独立的伯努利随机变量。二次型中的第二种稀疏性来自以下设定：我们随机采样各向异性次高斯向量 $Y = H X$ 的元素，其中 $H \in \mathbb{R}^{m\times m}$ 是一个 $m \times m$ 对称矩阵；我们研究了 $D_{\xi} Y$ 的 $\ell_2$-范数偏离其期望值的大偏差界，其中对给定向量 $x \in \mathbb{R}^m$，$D_{x}$ 表示主对角元为 $x$ 的元素的对角矩阵。该形式自然产生于协方差估计的背景中。