指数矩条件下随机向量范数的偏差界及其应用

Hanson-Wright不等式为界定具有次高斯行为的中心化随机向量$\xi$的范数$|\xi|$提供了有力工具。本文将界限推广到$\xi$仅具有形式为$\log E \exp \langle V^{-1} \xi,u \rangle \leq |u|^2/2$的有界指数矩的情形，其中$V^2 \geq \mathrm{Var}(\xi)$且对某些固定$g$有$|u| \leq g$。对于线性映射$Q$，我们给出上分位函数$z_{c}(B,x)$，使得$P(| Q \xi | > z_{c}(B,x)) \leq 3 e^{-x}$，其中$B = Q \, V^2 Q^{T}$。所得结果展现出相变效应：存在依赖于$g$和$B$的临界值$x_{c}$，当$x \leq x_{c}$时，函数$z_{c}(B,x)$复现高斯向量$\xi$的情形，即$z_{c}^2 (B,x) = {\rm tr}(B) + 2 \sqrt{x {\rm tr}(B^2)} + 2 x |B|$；当$x > x_{c}$时，函数$z_{c}(B,x)$随$x$线性增长。结果具体应用于伯努利向量和的情形以及Frobenius范数下的协方差估计。