随机实对称分块矩阵的特征值分布

随机矩阵理论（RMT）已成功地对多种系统进行了建模，从重核的能级到 $L$-函数的零点。一个系统中的许多统计量可以用另一个系统的量来解释；例如，$L$-函数的零点对应于矩阵的特征值，$L$-函数的值对应于特征多项式的值。这种对应关系使 RMT 能够成功预测许多数论行为；然而，有些操作迄今为止还没有 RMT 的类比。本文的动机是尝试找到 Rankin-Selberg 卷积的 RMT 等价物，该卷积从一对输入构建一个新的 $L$-函数。为明确起见，我们集中于两个特定的族，即回文实对称 Toeplitz（PST）矩阵系综和实对称（RS）矩阵系综，它们的极限谱测度分别是高斯分布和半圆分布；选择它们是因为它们在矩计算方面是两种极端情况。对于 PST 矩阵 $A$ 和 RS 矩阵 $B$，我们构造了一个随机实对称分块矩阵系综，其第一行为 $\lbrace A, B \rbrace$，第二行为 $\lbrace B, A \rbrace$。通过 Markov 矩方法，我们证明了该系综弱收敛且几乎必然收敛到一个具有高斯和半圆混合行为的新普适分布。我们通过考虑来自具有不同极限谱测度的任意一对随机实对称子系综的矩阵的迭代拼接来扩展这一构造。我们证明了有限次迭代收敛到具有混合行为的新普适分布，而无限次迭代收敛到各分量矩阵的极限谱测度。