取自Hua-Pickrell分布的随机酉矩阵的截断

设 $U$ 为从酉群 $\mathrm{U}(n+m)$ 上的 Hua-Pickrell 分布 $\mu_{\mathrm{U}(n+m)}^{(\delta)}$ 抽取的随机酉矩阵。我们证明对于任意满足 $\mathrm{Re}\,\delta>-1/2$ 的 $\delta\in\mathbb{C}$，截断酉矩阵 $[U_{i,j}]_{1\leq i,j\leq n}$ 的特征值在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上构成行列式点过程 $\mathscr{X}_n^{(m,\delta)}$。我们还证明了当 $n\to\infty$ 时行列式点过程 $\mathscr{X}_n^{(m,\delta)}$ 的极限点过程恒为 $\mathscr{X}^{[m]}$，与 $\delta$ 无关。此处 $\mathscr{X}^{[m]}$ 是 $\mathbb{D}$ 上带加权 Bergman 核 \begin{equation*} \begin{split} K^{[m]}(z,w)=\frac{1}{(1-z\overline w)^{m+1}} \end{split} \end{equation*} 相对于参考测度 $d\mu^{[m]}(z)=\frac{m}{\pi}(1-|z|)^{m-1}d\sigma(z)$ 的行列式点过程，其中 $d\sigma(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的勒贝格测度。