关于与具有不同相关性的样本协方差矩阵相关的某些模型的经验谱分布

给定 $n,m\in \mathbb{N}$，我们研究两类大型随机矩阵，形式为 $$\mathcal{L}_n =\sum_{\alpha=1}^m\xi_\alpha \mathbf{y}_\alpha \mathbf{y}_\alpha ^T\quad\text{and}\quad \mathcal{A}_n =\sum_{\alpha =1}^m\xi_\alpha (\mathbf{y}_\alpha \mathbf{x}_\alpha ^T+\mathbf{x}_\alpha \mathbf{y}_\alpha ^T),$$ 其中对每个 $n$，$(\xi_\alpha )_\alpha \subset \mathbb{R}$ 是独立于 $(\mathbf{x}_\alpha,\mathbf{y}_\alpha)_\alpha$ 的 iid 随机变量，且 $(\mathbf{x}_\alpha )_\alpha$、$(\mathbf{y}_\alpha )_\alpha \subset \mathbb{R}^n$ 是两组（未必独立）独立随机向量，具有不同协方差矩阵并产生良好集中的双线性型。我们考虑当 $n,m(n)\to \infty$ 时的两种主要渐近机制：标准机制，其中 $m/n\to c$；以及略作修正的机制，其中 $m/n\to\infty$ 且 $\mathbf{E}\xi\to 0$ 而 $m\mathbf{E}\xi /n\to c$ 对某个 $c\ge 0$。假设向量 $(\mathbf{x}_\alpha )_\alpha$ 与 $(\mathbf{y}_\alpha )_\alpha$ 被“平均地”归一化且各向同性，我们证明了 $\mathcal{L}_n$ 与 $\mathcal{A}_n$ 的经验谱分布依概率收敛到 Marchenko-Pastur 律的一个版本与所谓有效介质谱分布。特别地，选取归一化 Rademacher 随机变量作为 $(\xi_\alpha )_\alpha$，在修正机制下可得到平移半圆律与半圆律。我们亦将结果应用于具有块结构的某些矩阵类，其在 [9, 21] 中已被研究。