随机矩阵：特征值的局域化与四阶矩的必要性

考虑一个随机厄米矩阵$M_n$的特征值$\lambda_i(M_n)$（按递增顺序），其上半三角元素独立，均值为零，方差为一，且呈指数衰减。根据维格纳半圆律，可以预期$\lambda_i(M_n)$集中在$\gamma_i \sqrt n$附近，其中$\int_{-\infty}^{\gamma_i} \rho_{sc} (x) dx = \frac{i}{n}$，$\rho_{sc}$是半圆函数。本文证明，如果矩阵元的三阶矩为零，则对所有$1\le i \le n$，有$$\E |\lambda_i(M_n)-\sqrt{n} \gamma_i|^2 = O(\min(n^{-c} \min(i,n+1-i)^{-2/3} n^{2/3}, n^{1/3+\eps})) ,$$其中$c>0$和$\eps>0$为绝对常数。特别地，对于谱内部的特征值（$\min \{i, n-i\}=\Theta (n)$），有$$\E |\lambda_i(M_n)-\sqrt{n} \gamma_i|^2 = O(n^{-c}).$$收敛速率也得到了类似的结果。作为推论，我们证明了四矩定理中的四阶矩条件是必要的，即如果允许改变四阶矩（同时保持前三阶矩不变），则$\lambda_i(M_n)$的均值平均变化量可达$n^{-1/2}$量级。我们精确推测了特征值期望如何随四阶矩变化。