相关矩阵的边缘普适性

设 $\widetilde{X}_{M\times N}$ 为一个矩形数据矩阵，其元素 $[\widetilde{x}_{ij}]$ 为独立实值随机变量，满足 $\mathbb {E}\widetilde{x}_{ij}=0$ 和 $\mathbb {E}\widetilde{x}^2_{ij}=\frac{1}{M}$，且 $N,M\to\infty$。这些元素的尾部呈次指数衰减。我们将在 $N/M=d_N,\lim_{N\to\infty}d_N\neq0,1,\infty$ 的条件下进行研究。本文证明了相关矩阵 ${X}^{\dagger}X$ 的边缘普适性，其中矩形矩阵 $X$（称为标准化矩阵）是通过将数据矩阵 $\widetilde{X}$ 的每一列除以其欧几里得范数得到的。我们的主要结果表明，相关矩阵 ${X}^{\dagger}X$ 的极值特征值（位于谱的两端）的 $k$-点（$k\geq1$）相关函数渐近收敛于高斯相关矩阵的相应函数，即 Tracy-Widom 律，因此，特别地，${X}^{\dagger}X$ 的最大和最小特征值在经过适当的中心化和缩放后收敛于 Tracy-Widom 分布。高斯相关矩阵极值特征值的渐近分布直到最近才被得出。作为本文主要结果的一个推论，我们也得到高斯相关矩阵的极值特征值渐近服从 Tracy-Widom 律。证明基于格林函数的比较，但需要克服的关键障碍是相关矩阵元素之间的强依赖性。我们通过一种新颖的论证来实现这一点，该论证涉及将标准化数据矩阵元素乘积的矩与原始数据矩阵的矩进行比较。我们的证明策略可推广用于证明其他具有依赖元素的随机矩阵系综的边缘普适性，因此具有独立的研究意义。