范数大小的几何解释

对于一个所有对角元为 1 的 $n \times n$ 正定对称矩阵 $Z$，我们证明存在一组向量 $V_Z \subset \mathbb{R}^n$，使得其外接球半径 $R$ 满足 ${\rm Mag}\ Z = (1-R^2)^{-1}$。这引出我们对已知和新的 magnitude 事实的几何解释。特别地，我们证明 ${\rm Mag}\ Z_{X} < n$ 对于负型 $n$ 点度量空间 $X$（$n > 1$）成立。这一结果给出了 Gomi--Meckes \cite{GM} 问题的否定答案。此外，我们也对一般实对称矩阵 $Z$（所有对角元为 1）的 magnitude 作出类似的几何描述。在这种情况下，半径对应于外接准球的半径，即在内积不确定的向量空间中范数为给定值的点集合。