欧几里得空间中区域的幅度函数

我们研究了 Leinster 为紧度量空间提出的幅度概念。对于一个光滑的紧区域 $X\subset \mathbb{R}^{2m-1}$，我们发现了函数 $\mathcal{M}_X(R) = \mathrm{mag}(R\cdot X)$ 的几何意义。函数 $\mathcal{M}_X$ 从正半轴延拓为复平面上的亚纯函数。其极点是广义散射共振。在半经典极限 $R \to \infty$ 下，$\mathcal{M}_X$ 具有渐近展开。$\mathcal{M}_X$ 在 $R=+\infty$ 处的前三项分别正比于体积、表面积和平均曲率积分。特别地，对于凸区域 $X$，其前项正比于内蕴体积，我们由此得到了 Leinster 和 Willerton 凸幅度猜想的渐近形式，并带有修正系数。