欧几里得空间中紧集的大小
度量几何
2016-07-14 v2
摘要
度量空间大小的概念由 Leinster 在 [8] 中引入，并在 [10]、[9]、[11] 和 [16] 中得到发展，但欧几里得空间中常见集合的大小仅在相对较少的情形下被理解。本文我们研究欧几里得空间中紧集的大小。我们首先描述了此类集合在小尺度和大尺度区域下大小的渐近行为。然后我们考虑奇数维欧几里得空间中具有非空内部的紧凸集的大小，并将其与外部区域中某些自然关联的高阶椭圆边值问题解的边界行为联系起来。我们进行了计算，导出了显式计算球体大小的算法，这在三维球体的特殊情形下证实了 Leinster 和 Willerton [9] 的凸体大小猜想。一般地，我们证明奇数维球体的大小是其半径的有理函数。除了傅里叶分析和 PDE 技术外，论证还涉及一些组合考量。
引用
@article{arxiv.1507.02502,
title = {On the magnitudes of compact sets in Euclidean spaces},
author = {Juan Antonio Barcelo and Anthony Carbery},
journal= {arXiv preprint arXiv:1507.02502},
year = {2016}
}
备注
Final version, to appear in Amer. J. Math