涵盖邻接矩阵所有特征值的色数新谱界

本文旨在改进关于色数 $\chi$ 的现有下界。设 $\mu_1,...,\mu_n$ 为按非增序排列的邻接矩阵的特征值。首先，我们证明了下界 $\chi \ge 1 + \max_m \{\sum_{i=1}^m \mu_i / - \sum_{i=1}^m \mu_{n-i+1}\}$，其中 $m=1,...,n-1$。这推广了仅涉及最大和最小特征值的 Hoffman 下界，即 $m=1$ 的情形。我们提供了几个新界超过 {\sc Hoffman} 下界的示例。其次，我们猜想下界 $\chi \ge 1 + S^+ / S^-$，其中 $S^+$ 和 $S^-$ 分别是正特征值和负特征值的平方和。为了佐证这一猜想，我们证明了较弱的界 $\chi \ge S^+/S^-$。我们表明，对于几类图族，该猜想的下界是紧的。我们还进行了各种搜索以寻找反例，但未发现任何反例。我们的证明依赖于一种新技术，即通过与酉矩阵共轭将邻接矩阵转换为零矩阵，并利用自伴矩阵谱的优超关系。我们还表明，上述界实际上是图的归一化正交秩的下界，该秩总是小于或等于色数。归一化正交秩是指使得能够为顶点分配模为 1 的条目向量所需的最小维数，且若对应顶点相连，则这两个向量正交。当我们将邻接矩阵 $A$ 替换为 $W * A$ 时，所有这些界仍然有效，其中 $W$ 是任意自伴矩阵，$*$ 表示 Schur 积，即 $W$ 和 $A$ 的逐元素乘积。