Hamming、Johnson 和 Kneser 图幂的色数谱下界的高效计算

我们研究了对 Hamming 图幂 $H(n, q)^p$、Johnson 图幂 $J(n, k)^p$ 和 Kneser 图幂 $K(n, k)^p$ 的色数 $\chi$ 的谱下界进行的调查，提供了首个计算可行的非平凡结果。虽然 $H(n, q)^p$ 的经典 Hoffman 色数下界在原则上可以应用于任何图，但直接计算需要 $O(q^{3n})$ 的时间，而 $J(n, k)^p$ 和 $K(n, k)^p$ 则需要 $O(({}_nC_k)^3)$ 的时间。因此，我们将这些图的邻接特征值表达为超几何正交多项式，利用其引出的递归关系高效计算整个谱。随后我们采用动态规划方法，对 $H(n, q)^p$、$J(n, k)^p$ 和 $K(n, k)^p$ 的 Hoffman 下界分别在 $O(np)$、$O(kp)$ 和 $O(k^2)$ 时间内计算。