哈明图与广义哈达玛图的量子色数

作为量化非局部游戏中量子优势的基本度量，量子色数揭示了纠缠在分布式任务中的能力。在本文中，我们研究了 $q$ 元哈明图和哈达玛图推广的该参数。我们的主要结果建立了两类图的量子色数与经典色数之间的指数分离，并在若干区间内确定了精确的量子色数。我们的分析基于已知的通过模一正交表示得到的上界和通过最小特征值得到的下界。哈明图 $H(n,q,d)$ 的先前结果仅限于特定情况：最小特征值仅在 $d > (q-1)n/q$ 时被识别，而模一正交表示仅在二元情况（$q=2$）且 $d \ge n/2$ 时被构造。在本工作中，我们通过开发一种线性规划方法来为任意相对距离构造模一正交表示，并使用迹方法在 $d$ 略低于阈值 $(q-1)n/q$ 的区间内确定最小特征值，从而填补了现有文献中的若干空白。对于循环群和有限域上的广义哈达玛图，通过确定其最小特征值，我们证明了谱下界与量子色数的自然上界相匹配。在经典方面，我们应用弗兰克尔和罗德尔（Frankl and Ródl）的禁止交集模式方法，获得了色数的指数下界，从而量化了量子量和经典量之间的分离。