图的量子色数的谱下界——第二部分

Hoffman 证明了具有特征值 $\mu_1 \ge \ldots \ge \mu_n$ 和色数 $\chi(G)$ 的图 $G$ 满足：$$\chi \ge 1 + \kappa$$ 其中 $\kappa$ 是使得 $$\mu_1 + \sum_{i=1}^{\kappa} \mu_{n+1-i} \le 0$$ 成立的最小整数。我们加强了这一著名结果，证明 $\chi(G)$ 可以被量子色数 $\chi_q(G)$ 替代，其中对所有图均有 $\chi_q(G) \le \chi(G)$，且对某些图 $\chi_q(G)$ 显著小于 $\chi(G)$。我们还证明了一个类似的结果，并研究了这些不等式对各类图的量子色数的影响，从而改进了许多已知结果。例如，我们证明了 Kneser 图 $KG_{p,2}$ 具有 $\chi_q = \chi = p - 2$。