关于小图上的量子色数

我们对小图量子色数的研究作出两点贡献。首先,Mančinska 与 Roberson [Baltic Journal on Modern Computing, 4(4), 846-859, 2016] 在一篇优雅的论文中给出了一个具有 14 个顶点的图 $G_{14}$,其量子色数为 4、经典色数为 5,并猜想这是展示这两个参数分离的最小图。我们描述了该猜想的计算机辅助证明,从而解决了一个量子图论中长期存在的开放问题。我们的第二点贡献涉及秩-$r$ 量子色数的研究。尽管现在可以证明对每个 $r$,$\chi_q$ 与 $\chi^{(r)}_q$ 均不相同,但已知这些参数间分离的较小例子很少。我们以具有 21 个顶点的图 $G_{21}$ 的形式给出此类分离的最小已知例子,满足 $\chi_q(G_{21}) = \chi^{(2)}_q(G_{21}) = 4$ 且 $\xi(G_{21}) = \chi^{(1)}_q(G_{21}) = \chi(G_{21}) = 5$。此前的纪录由图 $G_{msg}$ 保持,该图有 57 个顶点,最早在前述 Mančinska 与 Roberson 的论文中被考虑,并满足 $\chi_q(G_{msg}) = 3$ 且 $\chi^{(1)}_q(G_{msg}) = 4$。此外,$G_{21}$ 给出了参数 $\chi^{(1)}_q$ 与 $\chi^{(2)}_q$ 之间首个可证明的分离。我们相信,我们构造 $G_{21}$ 并下界其正交秩的技术可能具有独立的意义。