具有多个禁距的 $\mathbb{R}^{n}$ 的色数

设 $A\subset\mathbb{R}_{>0}$ 为有限距离集,令 $G_{A}(\mathbb{R}^{n})$ 为以 $\mathbb{R}^{n}$ 为顶点集、以 $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n}:\ \|x-y\|_{2}\in A\}$ 为边集的图,并令 $\chi(\mathbb{R}^{n},A)=\chi\left(G_{A}(\mathbb{R}^{n})\right)$。Erd\H{o}s 询问 $m$-距离色数的增长率 $$\bar{\chi}(\mathbb{R}^{n};m)=\max_{|A|=m}\chi(\mathbb{R}^{n},A).$$ 我们改进了 $\bar{\chi}(\mathbb{R}^{n};m)$ 的最佳现有下界,并证明 $$\bar{\chi}(\mathbb{R}^{n};m)\geq\left(\Gamma_{\chi}\sqrt{m+1}+o(1)\right)^{n}$$ 其中 $\Gamma_{\chi}=0.79983\dots$ 是一个显式常数。我们的完整结果更一般,并适用于该图中的团。令 $\chi_{k}(G)$ 表示给 $G$ 着色使得每种颜色不含 $(k+1)$-团所需的最少颜色数,并令 $\bar{\chi}_{k}(\mathbb{R}^{n};m)$ 表示对任意大小为 $m$ 的距离集所取该量的最大值。利用分块秩方法(Partition Rank Method),我们证明 $$\bar{\chi}_{k}(\mathbb{R}^{n};m)>\left(\Gamma_{\chi}\sqrt{\frac{m+1}{k}}+o(1)\right)^{n}.$$