给定度序列的色数极值

对于度序列 $d:d_1\geq \cdots \geq d_n$，我们考虑所有具有度序列 $d$ 的图中最小的色数 $\chi_{\min}(d)$ 和最大的色数 $\chi_{\max}(d)$。我们证明，如果 $d_n\geq 1$，则 $\chi_{\min}(d)\leq \max\left\{ 3,d_1-\frac{n+1}{4d_1}+4\right\}$；并且，如果 $\sqrt{n+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}>d_1\geq d_n\geq 1$，则 $\chi_{\max}(d)=\max\limits_{i\in [n]}\min\left\{ i,d_i+1\right\}$。对于给定条目有界的度序列 $d$，我们证明了所有具有度序列 $d$ 的图中最小的色数 $\chi_{\min}(d)$、最大的色数 $\chi_{\max}(d)$ 以及最小的独立数 $\alpha_{\min}(d)$ 均可在多项式时间内确定。