blowup 的次色染色

给定图 $G$ 和整数 $d\geq 0$，其 $d$-次次色染色数 $\chi^d(G)$ 是将顶点划分为若干部分的最小数，使得每个部分诱导的子图的最大度数至多为 $d$。Guo、Kang 和 Zwaneveld 最近研究了 $d$-次次色染色数与图 $G$ 的 $(d+1)$-倍（ clique） blowup $G\boxtimes K_{d+1}$ 之间的关系，并推测 $\chi(G)=\chi^d(G\boxtimes K_{d+1})$ 对每个图 $G$ 和 $d\geq 0$ 都成立。在本文中，我们通过构造图 $G$（其染色数可任意大），使得 $\chi(G)\geq \frac{30}{29}\chi^d(G\boxtimes K_{d+1})$ 对无限多个 $d$ 成立，从而否除了此猜想。另一方面，我们证明，猜想在常数因子修正后成立，即 $\chi^d(G\boxtimes K_{d+1})\leq \chi(G)\leq 2\chi^d(G\boxtimes K_{d+1})$ 对每个图 $G$ 和 $d\geq 0$ 都成立。