图同态博弈与量子着色问题的普适性

我们证明有限、简单、无向图的量子图参数编码了所有可能同步非局域博弈的获胜策略。给定同步博弈$\mathcal{G}=(I,O,\lambda)$,其中$|I|=n$、$|O|=k$,我们展示了$\mathcal{G}$与在一个至多具有$3+n+9n(k-2)+6|\lambda^{-1}(\{0\})|$个顶点的图上的$3$-着色博弈之间的弱$*$-等价,强化并简化了Z. Ji (arXiv:1310.3794)关于同步非局域博弈量子获胜策略的工作。作为一个应用,我们得到了L. Lov\'{a}sz (Proc. 4th SE Conf. on Comb., Graph Theory & Computing, 1973)将具有$n$个顶点和$m$条边的图$G$的$k$-着色问题归约到具有$3+n+9n(k-2)+6mk$个顶点的图的$3$-着色问题的量子版本。此外,同步博弈$\mathcal{G}$的获胜策略可转化为关联图着色博弈的获胜策略,其中策略对诚实验证者展现完美零知识。我们还表明,对于A. Atserias等人(J. Comb. Theory Series B, Vol. 136, 2019)中由$\mathcal{G}$关联的“博弈图”$X(\mathcal{G})$,独立数博弈$\text{Hom}(K_{|I|},\overline{X(\mathcal{G})})$与$\mathcal{G}$是遗传$*$-等价的,从而除博弈代数外所有模型中两博弈的获胜策略可能性相同。因此,色数、独立数和团数的量子版本编码了所有量子模型中所有同步博弈的获胜策略。