利用锥规划理解图的特征值平方和
组合数学
2024-11-14 v1 最优化与控制
谱理论
摘要
在本文中，我们证明了Wocjan、Elphick和Anekstein（2018）的一个猜想，该猜想用关于向量色数的单调表达式来界定图的邻接矩阵正（或负）特征值平方和的上界。我们的一个引理是当其中一个矩阵为半正定时，Hermite矩阵的Cauchy-Schwarz不等式的一个加强形式。Bollobás和Nikiforov（2007）提出的一个相关猜想用团数替换了向量色数，并且仅对前两个特征值求和。我们证明了该猜想的一个具有较弱常数的版本。我们工作的一个重要结果是证明了对于任何固定的，计算向量色数半定规划的一个秩最优解是NP难的。我们还给出了我们部分结果的顶点加权版本，并展示了它如何相当自然地导出团数的已知顶点加权版本的Motzkin-Straus二次优化公式。
引用
@article{arxiv.2411.08184,
title = {Conic programming to understand sums of squares of eigenvalues of graphs},
author = {Gabriel Coutinho and Thomás Jung Spier and Shengtong Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.08184},
year = {2024}
}
备注
33 pages. Our collaboration started after arXiv:2308.04475 was posted by two of the authors. We decided that the results in that submission fit well here, so we are keeping them in Section 2, with a significant improvement in the presentation