克罗内克积的布尔秩的上界

一个$0,1$-矩阵$A$的布尔秩，记为$R_\mathbb{B}(A)$，是指覆盖$A$中$1$-元素所需的最少单色组合矩形的个数。1988年，de Caen、Gregory和Pullman问：克罗内克积$C_n \otimes C_n$的布尔秩是否严格小于$R_\mathbb{B}(C_n)$的平方，其中$C_n$是$n \times n$对角为零、其余位置为一的矩阵（Carib. Conf. Comb. & Comp., 1988）。Watts对$n=4$给出了肯定回答（Linear Alg. and its Appl., 2001）。Karchmer、Kushilevitz和Nisan受非确定性通信复杂度的直接和问题的启发所得的一个结果（SIAM J. Disc. Math., 1995）表明，$C_n \otimes C_n$的布尔秩关于$C_n$的布尔秩线性增长，从而对每个足够大的$n$有$R_\mathbb{B}(C_n \otimes C_n) < R_\mathbb{B}(C_n)^2$。他们的证明依赖于概率论证。本文中，我们提出一种证明$0,1$-矩阵克罗内克积布尔秩上界的一般方法。我们用它对所有整数$n \geq 7$肯定地解决了de Caen等人提出的问题。我们进一步显式构造了$C_n \otimes C_n$的一个覆盖，其矩形数量近乎匹配最优渐近界。我们证明克罗内克积布尔秩上界的方法也可能适用于不同场景。我们通过将其推广到近期由Dvir、Gopi、Gu和Wigderson引入的spanoids的更宽框架（SIAM J. Comput., 2020）来表明其潜在适用性。