Kronecker 积刚度的改进上界

矩阵 $A$ 关于目标秩 $r$ 的刚度是指为获得秩至多为 $r$ 的矩阵而需更改的 $A$ 中元素的最少数量。在 MFCS'77 上,Valiant 引入矩阵刚度作为证明线性函数电路下界的工具,此后该概念备受关注并在复杂性理论其他领域找到应用。构造一个对 Valiant 归约足够刚(Valiant-rigid)的显式矩阵族的问题至今仍开放。此外,自 2017 年以来,多数长期研究的候选者已被证明并非 Valiant-rigid。其中一些曾经的刚度候选者是小型矩阵的 Kronecker 积。在最近一篇论文(STOC'21)中,Alman 给出了此类矩阵的一般非刚性结果:他证明若 $n\times n$ 矩阵 $A$(任意域上)是 $d\times d$ 矩阵 $M_1,\dots, M_k$ 的 Kronecker 积(故 $n=d^k$)($d\ge 2$),则仅更改 $A$ 的 $n^{1+\varepsilon}$ 个元素即可将其秩降至 $\le n^{1-\gamma}$,其中 $1/\gamma$ 约为 $2^d/\varepsilon^2$。在本注记中我们从两方面改进该结果。首先,我们不要求矩阵 $M_i$ 尺寸相等。其次,我们将 $1/\gamma$ 从 $d$ 的指数级降至约 $d^{3/2}/\varepsilon^2$(其中 $d$ 为矩阵 $M_i$ 的最大尺寸),并对尺寸彼此相差常数倍以内的矩阵 $M_i$ 降至近线性(约 $d/\varepsilon^2$)。作为结果应用,我们显著扩展了已知非 Valiant-rigid 的 Hadamard 矩阵类;其现包含 Paley-Hadamard 矩阵与有界尺寸 Hadamard 矩阵的 Kronecker 积。