循环分块对角矩阵的二元秩

一个 $0,1$ 矩阵的二元秩是指将其元素 1 划分为单色组合矩形所需的最小划分数。若矩阵 $M$ 是一个具有 $m$ 个对角块的分块矩阵，且对每个 $i \in [m]$，其第 $i$ 个对角块是循环矩阵，该循环矩阵的首行有 $k_i$ 个 1 后接 $n_i-k_i$ 个 0，而所有其他元素均为 0，则称 $M$ 为 $(k_1, \ldots, k_m ; n_1, \ldots, n_m)$ 循环分块对角矩阵。本文研究这些矩阵及其补矩阵的二元秩。特别地，我们将这些矩阵的二元秩与其在实数域上的秩进行比较，后者构成前者的一个下界。我们提出了一种通用方法，用于证明具有特定结构对角块且其余位置为 1 的分块矩阵二元秩的上界。利用该方法，我们证明了对满足每个 $i \in [m]$ 均有整数 $n_i>k_i>0$ 的 $(k_1, \ldots, k_m ; n_1, \ldots, n_m)$ 循环分块对角矩阵，其补矩阵的二元秩超出其实数秩的量不超过所有 $i \in [m]$ 上 $\gcd(n_i,k_i)-1$ 的最大值。我们进一步给出了这些矩阵的二元秩严格超出其实数秩的若干充分条件。结合上下界，我们确定了若干矩阵族的精确二元秩，并显著推广了 Gregory 的一个结果。受 Pullman 一个问题启发，我们研究了 $k$-正则 $0,1$ 矩阵及其补矩阵的二元秩。作为循环分块对角矩阵结果的应用，我们证明了对每个 $k \geq 2$，存在二元秩严格大于其补矩阵二元秩的 $k$-正则 $0,1$ 矩阵。此外，我们对每个整数 $r$，精确确定了二元秩为 $r$ 的 $2$-正则 $0,1$ 矩阵之补矩阵的最小可能二元秩。