关于常数实秩矩阵的二进制秩与布尔秩研究
组合数学
2025-07-15 v2
摘要
我们着手研究实秩较小的 0,1 矩阵的二进制秩与布尔秩之间的关系。这些秩函数之间的关系是一个重要的开放问题，本文证明当实秩 为小常数时，实秩与二进制秩、布尔秩之间的差距也为小常数。我们给出实秩 时，布尔秩和二进制秩的紧上界和下界，同时确定每种情况下最大隔离集的大小。此外，我们证明对于 ，由包含 个连续单位元随后紧随 个零元的行定义的循环矩阵，是唯一一个实秩为 且二进制秩、布尔秩和隔离集大小均为 的大小为 的矩阵，该矩阵实现了实秩与二进制秩、布尔秩之间可能的最大差距。我们的结果还可以以其他等价术语加以解释，例如寻找具有实秩 的二分图其简化邻接矩阵的边需要划分或覆盖所需的最小biclique数。我们采用组合技术和代数技术的组合，并借助计算机程序的帮助。
关键词
引用
@article{arxiv.2507.05824,
title = {A Study of the Binary and Boolean Rank of Matrices with Small Constant Real Rank},
author = {Michal Parnas and Adi Shraibman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.05824},
year = {2025}
}