布尔秩与二进制秩的数学与计算视角及其与实数秩的关系
离散数学
2026-01-22 v1 综合数学
摘要
本综述提供了关于二进制秩和布尔秩研究的全面概述，从数学和计算两个角度进行，特别强调其与实数秩的关系。我们回顾了这些秩函数的基本定义，并呈现了二进制秩和布尔秩的主要替代形式，以及它们的计算复杂性及其与通信复杂性领域的深刻联系。我们总结了用于建立二进制秩和布尔秩上下界的关键技术，包括来自线性代数、组合数学和图论的方法、隔离集、概率方法、内核化、通信协议以及查询到通信提升技术。此外，我们突出显示了这些秩在数学属性上相对于实数秩的主要差异，并讨论了几个特定矩阵族的非平凡秩界。最后，我们呈现了计算和近似这些秩函数的算法方法，如参数化算法、近似算法、属性测试和近似布尔矩阵分解（BMF）。综合所述，所呈现的结果概述了该领域当前的理论知识，并指明了进一步研究的方向。
引用
@article{arxiv.2601.13900,
title = {Mathematical and computational perspectives on the Boolean and binary rank and their relation to the real rank},
author = {Michal Parnas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.13900},
year = {2026}
}