高指数覆盖阵列的上界

一个\emph{覆盖阵列}是一个由 $v$ 元字母表元素构成的 $N \times k$ 阵列,使得每个 $N \times t$ 子阵列至少包含字母表中大小为 $t$ 的所有 $v^t$ 元组 $\lambda$ 次;记为 $\CA_\lambda(N; t, k, v)$。覆盖阵列在大规模复杂系统测试中有应用;在非确定性系统中,增大 $\lambda$ 可增强对系统正确性的信心。\emph{覆盖阵列数} $\CAN_\lambda(t,k,v)$ 是其他参数下存在覆盖阵列的最小行数。对一般 $\lambda$,仅知若干非平凡界,其中最小者在 $v, t$ 固定时渐近为 $\log k + \lambda \log \log k + o(\lambda)$。此外有猜想认为可去除 $\log \log k$ 项。首先,我们利用 Stein--Lov\'asz--Johnson 范式,对一般 $\lambda$ 及 $v, t$ 为常数时导出 $\CAN_\lambda(t,k,v)$ 的渐近最优界,从而证实该猜想。其次,我们利用 Lov\'asz 局部引理改进了该方法的常数。第三,当 $\lambda=2$ 时,我们扩展 Sarkar 与 Colbourn 的两阶段范式,其改进了一般界且常比他人 $\lambda=1$ 的结果更优。第四,我们将该两阶段范式进一步推广至一般 $\lambda$ 以获得更强上界,包括使用图着色。最后,我们确定了在行数固定时 $\lambda$ 可取值大小的上界。