小强度-2覆盖阵列的结构

强度为$t$的覆盖阵列$\rm{CA}(N;t,k,v)$是一个$N \times k$的符号阵列，符号取自大小为$v$的字母表，使得在每个$N \times t$子阵列中，每个$t$-元组至少出现于一行。若对给定$t$、$k$和$v$具有尽可能小的$N$，则称覆盖阵列为\emph{最优}的；若每列中每个符号出现$\lfloor N/v \rfloor$或$\lceil N/v \rceil$次，则称其为\emph{均匀}的。在本文之前，已知的$t=2$最优覆盖阵列仅有正交阵列、由Sperner定理与Erd\H{o}s-Ko-Rado定理构造的$v=2$覆盖阵列，以及另外十一个$v>2$且$N > v^2$的参数集。在所有这些情形中，都存在具有最优大小的均匀覆盖阵列。已有猜想称对所有参数均存在最优大小的均匀覆盖阵列。本文给出了小均匀强度-$2$覆盖阵列的一个新下界以及结构约束。此外，对小参数覆盖阵列进行了计算研究。现已知$v > 2$且$N > v^2$的最优强度-$2$覆盖阵列大小涉及$21$个参数集。我们的构造结果继续支持该猜想。