性质测试中的 Helly 型定理

Helly 定理是离散几何中的一个基本结果，描述了凸集相互相交的方式。如果 $S$ 是 $R^d$ 中的一组 $n$ 个点，若 $S$ 可被划分为 $k$ 个簇（子集），使得每个簇都能包含在几何对象 $G$ 的一个平移副本中，则称 $S$ 是 $(k,G)$-可聚类的。在本文中，作为 Helly 定理的一个应用，通过从 $S$ 中抽取常数大小的样本，我们提出了一种针对 $(k,G)$-聚类的测试算法，即区分两种情况：$S$ 是 $(k,G)$-可聚类的，或者 $S$ 距离 $(k,G)$-可聚类状态有 $\epsilon$ 之远。如果至少需要从 $S$ 中移除 $\epsilon n$ 个点才能使其成为 $(k,G)$-可聚类的，则称集合 $S$ 距离 $(k,G)$-可聚类状态有 $\epsilon$ 之远 ($0<\epsilon\leq1$)。我们解决了 $k=1$ 且 $G$ 为对称凸对象时的这一问题。对于 $k>1$，我们解决了该问题的一个较弱版本。最后，作为我们测试结果的一个应用，在带有离群点的聚类中，我们表明可以通过查询常数大小的样本以高概率找到近似簇。